Derivada de una función compuesta

Regla de la cadena
Si consideramos las ecuaciones entonces puede escribirse "y" como .

En igual forma, si entonces puede expresarse "y"

como .

En general, si entonces .

Las ecuaciones anteriores dan en forma explícita las siguientes funciones:

La función h para la cual recibe el nombre de función compuesta y se escribe .

Observe que los elementos del dominio de h son los x que pertenecen al dominio de la función g , tales que g(x)pertenezca al dominio de f .

Ilustraremos lo anterior con el siguiente diagrama:

Teorema sobre la derivada de una constante derivadas

Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas.

Teorema
La derivada de una función constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante.

Ejemplo:

1. Si entonces

FUNCIONES SIMETRICAS

Funciones pares: Una función f(x) es par cuando cumple f(x) = f(-x).
Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.

f(2) = f(−2), f(3) = f(−3), f(1/3) = f(−1/3),..

Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y.

Funciones impares: Una función f(x) es impar si cumple f(-x) = - f(x).
A valores opuestos de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de −2; la imagen de −1 es la opuesta de la imagen de 1…).

Por corresponder a valores opuestos de x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Ejemplos de funciones pares e impares.

f(x) = x ; g(x) = 3.x + 2; k(x) = x

Resolución: f(x) = x
f(-x) = (-x) = x
Þ f(x) = f(-x)

La función f(x) es par. g(x) = 3.x + 2 g(-x) = 3.(-x) + 2 = −3.x + 2 Þ g(x) ≠ g(-x)

La función g(x) no es par. k(x) = x k(-x) = -x = x Þ k(x) = k(-x)

k(x) = x es una función par.

Interpretacion Geometrica De Los Numeros Reales

Distancia entre dos puntos: Sean a y b respectivamente, las coordenadas de 2 puntos A y B sobre la recta numerica. La distancia entre A y B se denota d(A,B) esta denotada por: d(A,B)=b-a
Ejemplo: Sean los puntos A=3 y B=−4 calcular la distancia que exite entre los dos.

d(3,−4)=−4–3
=−7
= 7

USO DE LA RECTA NUMÉRICA Los números reales pueden ser representados gráficamente en la recta numérica. Imagine la recta numérica, también llamada recta real, como una gran autopista de alta velocidad densamente transitada por vehículos de dos colores: unos amarillos (números racionales) y otros de color café (números irracionales). En esta autopista hay un punto de referencia, situado en el centro, conocido como el punto cero, 0. Los vehículos amarillos y cafés, se encuentran tanto a la izquierda como a la derecha del cero. Aparentemente hay un caos, a tal grado que los conductores deben permanecer estáticos; sin embargo cada conductor sabe exactamente el lugar que le corresponde a su vehículo en la autopista. Un hecho curioso: el controlador de la autopista había registrado la entrada de millones y millones de vehículos amarillos; sin embargo, en un recorrido realizado en helicóptero, la autopista se ve pintada de café. Esto es, a pesar de que han entrado muchísimos vehículos amarillos, éstos comparados con los de color café, quedan opacados. Es necesario aclarar, que por cada color de vehículo, los hay de diferentes modelos aunque, hay que decirlo, algunos de los modelos incluyen el de otros (subconjuntos).

Notación

Los números reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.

Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.

Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica(por ejemplo, "") en vez de su respectiva aproximación decimal.

Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.

La notación matematica se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

Divicion Algebraica

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

Ejemplo: